${\left( {3x - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{10}}$ के विस्तार में,अंत से $5^{th}$ पद क्या है?

मान लीजिए कि $K$,$(1+x)^{99}$ के विस्तार में $x$ की विषम घातों के गुणांकों का योग है। मान लीजिए $a$,$(2+\frac{1}{\sqrt{2}})^{200}$ के विस्तार में मध्य पद है। यदि $\frac{{}^{200}C_{99} K}{a} = \frac{2^{\ell} m}{n}$ है,जहाँ $m$ और $n$ विषम संख्याएँ हैं,तो क्रमित युग्म $(\ell, n)$ बराबर है:

यदि $(x+x^{\log _{2} x})^{7}$ के विस्तार में चौथा पद $4480$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए जहाँ $x \in N$.

$^nC_0, ^nC_1, ^nC_2, \dots, ^nC_n$ के संबंधित भार वाले मानों $0, 1, 2, \dots, n$ का माध्य ज्ञात कीजिए।

यदि $(x + y)^n$ के विस्तार में गुणांकों का योग $1024$ है,तो विस्तार में सबसे बड़े गुणांक का मान क्या है?

$(1 + \alpha x)^4$ और $(1 - \alpha x)^6$ के $x$ की घातों में द्विपद विस्तार में मध्य पद का गुणांक समान है,यदि $\alpha$ का मान है